Gruppenoperation/Bahn/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

Die Gruppe ${\displaystyle {}G}$ operiere auf der Menge ${\displaystyle {}M}$. Die Symmetrie ergibt sich direkt aus ${\displaystyle {}ex=x}$ für alle ${\displaystyle {}x\in M}$. Zur Symmetrie. Es sei ${\displaystyle {}gx=y}$ mit einem ${\displaystyle {}g\in G}$. Wir wenden auf diese Gleichheit die Operation mit dem inversen Element ${\displaystyle {}g^{-1}}$ an und erhalten

${\displaystyle {}x=ex={\left(g^{-1}g\right)}x=g^{-1}(gx)=g^{-1}y\,.}$

Zur Transitivität. Es sei ${\displaystyle {}gx=y}$ und ${\displaystyle {}hy=z}$ mit ${\displaystyle {}g,h\in G}$. Dann ist

${\displaystyle {}(hg)x=h(gx)=hy=z\,,}$

${\displaystyle {}x}$

${\displaystyle {}z}$