Gruppenoperation/Gruppenhomomorphismus in Automorphismengruppe/Fakt/Beweis

${\displaystyle {}g\in G}$

${\displaystyle \varphi _{g}\colon M\longrightarrow M,\,x\longmapsto gx,}$

die zugehörige Abbildung. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi _{gh}(x)&=(gh)x\\&=g(hx)\\&=\varphi _{g}(hx)\\&=\varphi _{g}(\varphi _{h}(x))\\&=(\varphi _{g}\circ \varphi _{h})(x).\end{aligned}}}$

Daher ist die Zuordnung

${\displaystyle G\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(M,M\right)},\,g\longmapsto \varphi _{g},}$

mit den Verknüpfungen verträglich. Ferner ist

${\displaystyle {}\varphi _{e_{G}}(x)=e_{G}x=x\,,}$

also ist ${\displaystyle {}\varphi _{e_{G}}}$ die Identität. Für jedes ${\displaystyle {}g\in G}$ ist

${\displaystyle {}\varphi _{g}\circ \varphi _{g^{-1}}=\varphi _{gg^{-1}}=\varphi _{e_{G}}=\operatorname {Id} _{M}\,}$

(ebenso für die umgekehrte Reihenfolge) und daher ist ${\displaystyle {}\varphi _{g}}$ bijektiv. Also gehört ${\displaystyle {}\varphi _{g}}$ zur Permutationsgruppe ${\displaystyle {}\operatorname {Perm} \,(M)}$. Somit liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto \varphi _{g},}$

vor.

${\displaystyle {}e_{G}x=\varphi (e_{G})(x)=\operatorname {Id} _{G}(x)=x\,}$

und

${\displaystyle {}(gh)x=(\varphi (gh))(x)=(\varphi (g)\circ \varphi (h))(x)=(\varphi (g))((\varphi (h))(x))=g(hx)\,.}$

Also liegt eine Gruppenoperation vor.