Gruppenoperation/Invariante Teilmenge/Beziehungen der Bahnenräume/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge, auf der eine Gruppe ${\displaystyle {}G}$ operiere. Es sei ${\displaystyle {}T\subseteq M}$ eine ${\displaystyle {}G}$-invariante Teilmenge. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Es gibt eine natürliche Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon T\backslash G\longrightarrow M\backslash G}$

zwischen den Bahnenräumen.

b) Die Abbildung ${\displaystyle {}\varphi }$ ist injektiv.

c) Die Abbildung ${\displaystyle {}\varphi }$ muss nicht surjektiv sein.