Hauptidealbereich/Ist faktoriell (ohne Begriff)/Fakt/Beweis

Die erste Aussage folgt direkt aus Fakt und Fakt.

Die behauptete Eindeutigkeit bis auf Umordnung bedeutet, dass wenn

${\displaystyle {}a=u\cdot p_{1}\cdots p_{k}=v\cdot q_{1}\cdots q_{m}\,}$

zwei Primfaktorzerlegungen sind, dass dann ${\displaystyle {}k=m}$ ist und es eine Permutation ${\displaystyle {}\tau }$ auf ${\displaystyle {}\{1,\ldots ,k\}}$ derart gibt, dass ${\displaystyle {}p_{i}}$ und ${\displaystyle {}q_{\tau (i)}}$ für alle ${\displaystyle {}i\in \{1,\ldots ,k\}}$ assoziiert sind. Wir beweisen diese Aussage durch Induktion über ${\displaystyle {}k}$. Es sei zuerst ${\displaystyle {}k=0}$ (das sei zugelassen). Dann steht links eine Einheit, also muss auch rechts eine Einheit stehen, was ${\displaystyle {}m=0}$ bedeutet.

Es sei also ${\displaystyle {}k>0}$ und die Aussage sei für alle kleineren ${\displaystyle {}k}$ bewiesen. Die Gleichung ${\displaystyle {}(*)}$ bedeutet insbesondere, dass ${\displaystyle {}p_{k}}$ das Produkt rechts teilt. Da ${\displaystyle {}p_{k}}$ prim ist, muss ${\displaystyle {}p_{k}}$ einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung kann man annehmen, dass ${\displaystyle {}q_{m}}$ von ${\displaystyle {}p_{k}}$ geteilt wird. Da ${\displaystyle {}q_{m}}$ ebenfalls prim ist, sind ${\displaystyle {}q_{m}}$ und ${\displaystyle {}p_{k}}$ assoziiert. Also ist

${\displaystyle {}q_{m}=wp_{k}\,}$

mit einer Einheit ${\displaystyle {}w}$ und man kann die Gleichung ${\displaystyle {}(*)}$ nach ${\displaystyle {}p_{k}}$ kürzen und erhält

${\displaystyle {}u\cdot p_{1}\cdots p_{k-1}=(vw)\cdot q_{1}\cdots q_{m-1}\,.}$

Die Induktionsvoraussetzung liefert dann ${\displaystyle {}k-1=m-1}$ und dass jedes ${\displaystyle {}p_{i}}$ zu einem ${\displaystyle {}q_{j}}$ assoziiert ist.