Hauptkongruenzgruppe/Basis für Torsion/Wirkungsweise/Fakt/Beweis

Es sei

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,.}$

Die transformierte Basis ist ${\displaystyle {}u'=au+bv}$ und ${\displaystyle {}v'=cu+dv}$. In ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }/\Lambda }$ gelten dann die Beziehungen

${\displaystyle {}[{\frac {u'}{N}}]=a[{\frac {u}{N}}]+b[{\frac {v}{N}}]\,}$

und

${\displaystyle {}[{\frac {v'}{N}}]=c[{\frac {u}{N}}]+d[{\frac {v}{N}}]\,.}$

Dies ist eine Identität im ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(N)}$-Modul

${\displaystyle {}\operatorname {Tor} _{N}{\left({\mathbb {C} }/\Lambda \right)}\cong \mathbb {Z} /(N)\times \mathbb {Z} /(N)\,,}$

daher können wir die Zahlen ${\displaystyle {}a,b,c,d}$ modulo ${\displaystyle {}N}$ nehmen. Die Gleichheit der Basen bedeutet dann einfach, dass modulo ${\displaystyle {}N}$ die Gleichheiten ${\displaystyle {}a=d=1}$ und ${\displaystyle {}b=c=0}$ vorliegen. Dies bedeutet ${\displaystyle {}M\in \Gamma (N)}$.