Hausdorffraum/Kompakte Teilmenge/Abgeschlossen/Fakt/Beweis

Wir zeigen, dass es zu jedem Punkt ${\displaystyle {}x\in U=X\setminus Y}$ eine offene Umgebung ${\displaystyle {}x\in V\subseteq U}$ gibt. Deren Vereinigung ist dann gleich ${\displaystyle {}U}$. Sei also ${\displaystyle {}x\notin Y}$ gegeben. Zu jedem Punkt ${\displaystyle {}y\in Y}$ gibt es offene Mengen ${\displaystyle {}x\in V_{y}}$ und ${\displaystyle {}y\in W_{y}}$, die zueinander disjunkt sind. Die offenen Mengen ${\displaystyle {}W_{y}}$, ${\displaystyle {}y\in Y}$, überdecken ${\displaystyle {}Y}$. Aufgrund der Kompaktheit gibt es davon eine endliche Teilüberdeckung, sagen wir

${\displaystyle {}Y\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}W_{i}\,.}$

Dann ist ${\displaystyle {}V=\bigcap _{i=1}^{n}V_{i}}$ als endlicher Durchschnitt von offenen Mengen offen und damit eine offene Umgebung von ${\displaystyle {}x}$, die zu ${\displaystyle {}Y}$ disjunkt ist.