Homogenes Polynom/Extrema/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}f}$ ein reelles Polynom in ${\displaystyle {}n}$ Variablen mit der Eigenschaft, dass sämtliche in ${\displaystyle {}f}$ vorkommenden Monome den gleichen Grad ${\displaystyle {}d}$ haben. Es ist also

${\displaystyle {}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})\,,\sum _{j}r_{j}=d}a_{r}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\,.}$

1. Zeige

   ${\displaystyle {}f(tx_{1},tx_{2},\ldots ,tx_{n})=t^{d}\cdot f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,}$

   für ${\displaystyle {}t\in \mathbb {R} }$.

2. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ kein isoliertes lokales Extremum in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle {}P\neq \left(0,\,0,\,\ldots ,\,0\right)}$ besitzt.
3. Es sei ${\displaystyle {}d}$ ungerade. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ kein isoliertes lokales Extremum im Nullpunkt besitzt.