Homogenes Polynom/Partielle Ableitung/Dehomogenisierung/Aufgabe/Lösung

a) Da beide Prozesse linear sind, kann man sich auf Monome

${\displaystyle X_{1}^{\nu _{1}}X_{2}^{\nu _{2}}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}}$

beschränken, und die Situation betrachten, dass man nach ${\displaystyle {}X_{1}}$ ableitet und nach ${\displaystyle {}X_{2}}$ dehomogenisiert. Die partielle Ableitung davon ist

${\displaystyle \nu _{1}X_{1}^{\nu _{1}-1}X_{2}^{\nu _{2}}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},}$

die Dehomogenisierung liefert

${\displaystyle \nu _{1}X_{1}^{\nu _{1}-1}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}.}$

Wenn man zuerst dehomogenisiert, so erhält man

${\displaystyle X_{1}^{\nu _{1}}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}}$

und die partielle Ableitung ergibt ebenfalls

${\displaystyle \nu _{1}X_{1}^{\nu _{1}-1}X_{3}^{\nu _{3}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}.}$

b) Betrachte ${\displaystyle {}X_{1}}$. Die Ableitung nach ${\displaystyle {}X_{1}}$ ergibt ${\displaystyle {}1}$, dies bleibt bei Dehomogenisierung erhalten. Wenn man zuerst nach ${\displaystyle {}X_{1}}$ dehomogenisiert, so erhält man ${\displaystyle {}1}$ und die Ableitung davon ist ${\displaystyle {}0}$.