Hyperbolische Fläche/Kreisscheibe/Zweischaliges Hyperboloid/Isometrie/Fakt

Die Abbildung

${\displaystyle \theta \colon V\longrightarrow Y,\,{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}{\frac {-2a}{a^{2}+b^{2}-1}}\\{\frac {-2b}{a^{2}+b^{2}-1}}\\{\frac {-a^{2}-b^{2}-1}{a^{2}+b^{2}-1}}\end{pmatrix}},}$

definiert eine Isometrie zwischen der hyperbolischen Kreisscheibe ${\displaystyle {}V}$ und der oberen Schale des zweischaligen Hyperboloids mit der induzierten Minkowski-Metrik.