Hyperfläche/Kurve/Paralleltransport/Isometrie/Fakt/Beweis

Zum Nachweis der Linearität seien ${\displaystyle {}v,w\in T_{P}Y}$ and ${\displaystyle {}r,s\in \mathbb {R} }$ gegeben. Es seien ${\displaystyle {}F}$ bzw. ${\displaystyle {}G}$ die gemäß Fakt eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder längs ${\displaystyle {}\gamma }$ mit ${\displaystyle {}F(a)=v}$ und ${\displaystyle {}G(a)=w}$. Nach Fakt ist ${\displaystyle {}rF+sG}$ ein paralleles Vektorfeld mit ${\displaystyle {}(rF+sG)(a)=v+w}$. Wegen der Eindeutigkeit aus Fakt ist somit ${\displaystyle {}rF+sG}$ das parallele Vektorfeld zum Tangentialvektor ${\displaystyle {}rv+sw}$. Daher ist

${\displaystyle {}\Psi _{\gamma }(rv+sw)=(rF+sG)(b)=rF(b)+sG(b)=r\Psi _{\gamma }(v)+s\Psi _{\gamma }(w)\,.}$

Zum Nachweis der Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt seien wieder ${\displaystyle {}v,w\in T_{P}Y}$ gegeben und es seien ${\displaystyle {}F,G}$ die zugehörigen parallelen Vektorfelder. Es ist

${\displaystyle {}\left\langle F(t),G(t)\right\rangle '=\left\langle F'(t),G(t)\right\rangle +\left\langle F(t),G'(t)\right\rangle =0\,,}$

da ${\displaystyle {}F,G}$ tangential sind und ${\displaystyle {}F',G'}$ orthogonal zum Tangentialraum sind. Daher ist ${\displaystyle {}\left\langle F(t),G(t)\right\rangle }$ konstant längs des Weges. Daher ist

${\displaystyle {}\left\langle \Psi _{\gamma }(v),\Psi _{\gamma }(w)\right\rangle =\left\langle F(b),G(b)\right\rangle =\left\langle F(a),F(a)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.}$

Die Bijektivität ist damit auch klar.