Hyperfläche/Normalkrümmung/Berechnung/Fakt

Es sei ${\displaystyle {}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ offen, ${\displaystyle {}h\colon W\rightarrow \mathbb {R} }$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und ${\displaystyle {}Y=h^{-1}(c)}$ die Faser zu ${\displaystyle {}c\in \mathbb {R} }$, wobei ${\displaystyle {}h}$ in jedem Punkt von ${\displaystyle {}Y}$ regulär sei. Es sei ${\displaystyle {}P\in Y}$. Es seien ${\displaystyle {}\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n-1}}$ die Hauptkrümmungen zu ${\displaystyle {}Y}$ in ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n-1}}$ zugehörige normierte Hauptkrümmungsrichtungen.

Dann ist die Normalkrümmung von ${\displaystyle {}Y}$ in ${\displaystyle {}P}$ in Richtung ${\displaystyle {}v\in T_{P}Y}$ gleich