Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Christoffelsymbole/Definition

Es sei ${\displaystyle {}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ eine zweifach stetig differenzierbare orientierte Fläche und sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow Y,}$

${\displaystyle {}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ offen, eine zweifach stetig differenzierbare lokale Parametrisierung von ${\displaystyle {}Y}$ mit den Parametern ${\displaystyle {}u,v}$. Es sei ${\displaystyle {}N}$ das Einheitsnormalenfeld aufgefasst auf ${\displaystyle {}V}$. Es sei ${\displaystyle {}H={\left(h_{ij}\right)}}$ die zweite Fundamentalmatrix zu ${\displaystyle {}\varphi }$. Dann nennt man die punktweise über die linearen Gleichungssysteme

${\displaystyle {}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial ^{2}u}}=\Gamma _{11}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{11}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{11}N\,,}$

${\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}=\Gamma _{12}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{12}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{12}N\,,}$

${\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}=\Gamma _{21}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{21}N\,,}$

${\displaystyle {}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial ^{2}v}}=\Gamma _{22}^{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}+\Gamma _{22}^{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}+h_{22}N\,,}$

definierten Funktionen

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} }$

die Christoffelsymbole zu ${\displaystyle {}\varphi }$.