Hyperfläche/Transport durch Projektion/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle {}W}$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche und seien ${\displaystyle {}P,Q\in Y}$ Punkte mit den Tangentialräumen ${\displaystyle {}T_{P}Y}$ und ${\displaystyle {}T_{Q}Y}$. Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi _{P,Q}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{Q}Y,\,v\longmapsto \pi _{Q}(v),}$

die einen Tangentialvektor in ${\displaystyle {}P}$ als einen Vektor im umgebenden Raum ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ auffasst und anschließend auf ${\displaystyle {}T_{Q}Y}$ orthogonal projiziert.

1. Ist ${\displaystyle {}\varphi _{P,Q}}$ linear?
2. Ist ${\displaystyle {}\varphi _{P,Q}}$ bijektiv?
3. Ist ${\displaystyle {}\varphi _{P,Q}}$ eine Isometrie?
4. Gibt es eine Beziehung zwischen ${\displaystyle {}\varphi _{P,Q}}$ und dem Paralleltransport ${\displaystyle {}\Psi _{\gamma }}$ zu einer differenzierbaren Kurve ${\displaystyle {}\gamma \colon [a,b]\rightarrow Y}$ mit ${\displaystyle {}\gamma (a)=P}$ und ${\displaystyle {}\gamma (b)=Q}$.