Hyperfläche/Weingartenabbildung/Tangentialraum/Fakt/Beweis

Es ist ${\displaystyle {}N(P)={\frac {\operatorname {Grad} \,h(P)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(P)}\Vert }}}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung ${\displaystyle {}Y\subseteq U}$ definiert ist. Daher ist gemäß Fakt

${\displaystyle {}{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)}={\left(DN\right)}_{P}{\left(v\right)}\,}$

linear in der Richtung ${\displaystyle {}v}$. Wegen der Einheitsnormalenbedingung ist ${\displaystyle {}\left\langle N(P),N(P)\right\rangle =1}$ für alle ${\displaystyle {}P\in U}$ und daher ist unter Verwendung von Aufgabe

${\displaystyle {}0={\left(D_{v}\left\langle N,N\right\rangle \right)}{\left(P\right)}=2\left\langle N(P),{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)}\right\rangle \,.}$

Daher steht ${\displaystyle {}{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)}}$ senkrecht auf ${\displaystyle {}N(P)}$ und gehört bei ${\displaystyle {}P\in Y}$ zum Tangentialraum ${\displaystyle {}T_{P}Y}$.