Idempotente Elemente/Reduktion/Injektiv/Aufgabe/Lösung

Es seien ${\displaystyle {}e,f\in R}$ idempotent und sei vorausgesetzt, dass ihre Bilder in der Reduktion gleich sind. Dann ist ${\displaystyle {}e-f}$ nilpotent in ${\displaystyle {}R}$. D.h. es gibt ein ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ mit

${\displaystyle {}(e-f)^{n}=0\,.}$

Wir können annehmen, dass ${\displaystyle {}n}$ ungerade ist. Dann ist nach Binomi und unter Verwendung der Idempotenz

${\displaystyle {}{\begin{aligned}0&=(e-f)^{n}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}e^{k}f^{n-k}\\&=e^{n}-f^{n}+\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}e^{k}f^{n-k}\\&=e-f+\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}e^{k}f^{n-k}\\&=e-f+\sum _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}{\left(e^{k}f^{n-k}-e^{n-k}f^{k}\right)}\\&=e-f+\sum _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}{\left(ef-ef\right)}\\&=e-f.\end{aligned}}}$

Also ist

${\displaystyle {}e=f}$