Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz

Der Identitätssatz ist eine Aussage über holomorphe Funktionen, er besagt, dass sie schon unter relativ schwachen Voraussetzungen eindeutig festgelegt ist.

Sei ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ ein Gebiet. Für zwei holomorphe Funktionen ${\displaystyle f,g\colon U\to \mathbb {C} }$ sind äquivalent:

• (1) ${\displaystyle f=g}$ (d.h. ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in U}$)
• (2) Es gibt ein ${\displaystyle z_{0}\in U}$ mit ${\displaystyle f^{(n)}(z_{0})=g^{(n)}(z_{0})}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{o}}$.
• (3) Die Menge ${\displaystyle \{z\in U:f(z)=g(z)\}}$ hat unendlich viele Elemente mit einen Häufungspunkt in ${\displaystyle U}$.

Durch Betrachtung von ${\displaystyle f-g}$ dürfen wir o. E. annehmen, dass ${\displaystyle g=0}$. Äquivalent zu der Aussage des Satzes wird nur der Beweis für folgende 3 Aussage geführt:

• (N1) ${\displaystyle f=0}$ (d.h. ${\displaystyle f(x)=0}$ für alle ${\displaystyle x\in U}$)
• (N2) Es gibt ein ${\displaystyle z_{0}\in U}$ mit ${\displaystyle f^{(n)}(z_{0})=0}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{o}}$.
• (N3) Die Nullstellenmenge ${\displaystyle N_{f}:=\{z\in U:f(z)=0\}}$ hat unendlich viele Elemente mit einem Häufungspunkt in ${\displaystyle U}$

Der Beweis der Äquivalenz erfolgt über eine Ringschluss

${\displaystyle (1)\Rightarrow (2)\Rightarrow (3)\Rightarrow (1)}$

(N1) ${\displaystyle \Rightarrow }$ (N2) ist offensichtlich richtig, wenn man zu der Nullfunktion ${\displaystyle f}$ die n-ten Ableitung betrachtet.

Gelte nun (N2). Betrachte ein Potenzreihenentwicklung ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$ in ${\displaystyle B_{r}(z_{0})}$ mit ${\displaystyle r>0}$. Es ist ${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}=0}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Also ist ${\displaystyle f|_{B_{r}(z_{0})}=0}$, es folgt (N3).

Zu dem Beweisschritt (N3) ${\displaystyle \Rightarrow }$ (N1) wird als Widerspruchsbeweis geführt. Es wird angenommen, dass die Nullstellenmenge eine Häufungspunkt besitzt und ${\displaystyle f}$ nicht die Nullfunktion ist.

Gelte nun (N3), d. h. die Menge ${\displaystyle N_{f}}$ der Nullstellen von ${\displaystyle f}$ habe einen Häufungspunkt ${\displaystyle z_{0}\in U}$. Es gebe also eine Folge ${\displaystyle (z_{n})\in U^{\mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle z_{n}\to z_{0}}$ und ${\displaystyle f(z_{n})=0}$ sowie ${\displaystyle z_{n}\neq z_{0}}$, für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Sei nun ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$ die Potenzreihenentwicklung von ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle z_{0}}$.

Angenommen, es gäbe ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$, dann gäbe es wegen der Wohlordnungseigenschaft von ${\displaystyle \mathbb {N} }$ auch ein kleinstes solches ${\displaystyle n}$. Es wäre

${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})^{n}\sum _{k=0}^{\infty }a_{n+k}(z-z_{0})^{k},\qquad |z-z_{0}|<r,a_{n}\neq 0}$

Für jedes ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ wäre also

${\displaystyle 0=f(z_{i})=(z_{i}-z_{0})^{n}\sum _{k=0}^{\infty }a_{n+k}(z_{i}-z_{0})^{k}}$

Wegen ${\displaystyle z_{i}\neq z_{0}}$ und ${\displaystyle \displaystyle \lim _{i\to \infty }z_{i}=z_{0}}$ erhält man:

${\displaystyle 0=\sum _{k=0}^{\infty }a_{n+k}(z_{i}-z_{0})^{k}\to a_{n},\qquad i\to \infty }$

Da ${\displaystyle a_{n+k}(z_{i}-z_{0})^{k}\to 0}$ für alle ${\displaystyle k>0}$ für ${\displaystyle i\to \infty }$. Dies steht im Widerspruch zu ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$. Also ist ${\displaystyle a_{n}=0}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und damit ${\displaystyle f^{(n)}(z_{0})=0}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, d. h. (N2) gilt.

Gilt (N2), setze ${\displaystyle V:=\bigcap _{n\geq 0}\{z\in U\,|\,f^{(n)}(z)=0\}}$. ${\displaystyle V}$ ist als Durchschnitt von abgeschlossen Mengen abgeschlossen in ${\displaystyle U}$, da die ${\displaystyle f^{(n)}}$ stetig sind und damit Urbilder von abgeschlossenen Mengen (hier ${\displaystyle \{0\}}$) wieder abgeschlossen sind.

${\displaystyle V}$ ist aber zugleich auch offen in ${\displaystyle U}$, da in jedem ${\displaystyle w\in V}$ die Potenzreihenentwicklung von ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle w}$ verschwindet, also ist ${\displaystyle f}$ lokal um ${\displaystyle w}$ gleich ${\displaystyle 0}$. Wegen ${\displaystyle z_{0}\in V}$ ist ${\displaystyle V}$ nichtleer und damit ${\displaystyle V=U}$ wegen des Zusammenhangs von ${\displaystyle U}$.

Die Aussage des Identitätssatzes (1)-(3) erhält man dann für beliebige ${\displaystyle g:U\to \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle h:U\to \mathbb {C} }$, wenn man (N1)-(N3) auf ${\displaystyle f:=g-h}$ anwendet.

• Kurs:Funktionentheorie
• Satz von Casorati-Weierstraß

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