Induktionsaufgabe/3^n \geq n^4/Aufgabe/Lösung

Induktionsanfang für ${\displaystyle {}n=10}$. Es ist

${\displaystyle {}3^{10}=9^{5}=81\cdot 81\cdot 9\geq 6000\cdot 9\geq 10000=n^{4}\,.}$

Zum Induktionsschluss sei ${\displaystyle {}n\geq 10}$. Dann ist

${\displaystyle {}3^{n+1}=3\cdot 3^{n}\geq 3\cdot n^{4}=n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}\,.}$

Andererseits ist nach der binomischen Formel

${\displaystyle {}(n+1)^{4}=n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1\,.}$

Wir müssen

${\displaystyle {}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}\geq n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1\,}$

nachweisen. Der erste Summand stimmt links und rechts überein, für die anderen Summanden zeigen wir, dass die linken, also jeweils ${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}n^{4}}$, mindestens so groß wie die rechten sind. Dies folgt aber direkt aus ${\displaystyle {}n^{4}\geq 8n^{3}}$ (da ${\displaystyle {}n\geq 10}$), aus ${\displaystyle {}n^{4}\geq 12n^{2}}$, da ja ${\displaystyle {}n^{2}\geq 12}$ ist, aus ${\displaystyle {}n^{4}\geq 8n}$ und aus

${\displaystyle {}n^{4}\geq 2}$