Integralformel/Cauchy/Kreisscheibe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\displaystyle {}s>0}$ derart, dass

${\displaystyle {}B\left(a,s\right)\subseteq B\left(P,r\right)\,}$

ist. Die Funktion ${\displaystyle {}{\frac {f(z)}{z-a}}}$ ist dann auf ${\displaystyle {}U\setminus \{a\}}$ definiert und holomorph. Wir können daher Fakt anwenden und erhalten

${\displaystyle {}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\int _{\delta _{s}}{\frac {f(z)}{z-a}}dz\,,}$

wobei ${\displaystyle {}\delta _{s}}$ der Kreisweg um ${\displaystyle {}a}$ mit Radius ${\displaystyle {}s}$ sei. Man beachte, dass diese Gleichung für jedes positive hinreichend kleine ${\displaystyle {}s}$ gilt, und insbesondere der Term rechts unabhängig von einem solchen ${\displaystyle {}s}$ ist. Wir schreiben

${\displaystyle {}\int _{\delta _{s}}{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\int _{\delta _{s}}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}dz+\int _{\delta _{s}}{\frac {f(a)}{z-a}}dz\,.}$

Der Differenzenquotient ${\displaystyle {}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}}$ konvergiert für ${\displaystyle {}s}$ gegen ${\displaystyle {}0}$ gegen die Ableitung ${\displaystyle {}f'(a)}$. Insbesondere ist dieser Term beschränkt in einer Umgebung von ${\displaystyle {}a}$ und daher konvergiert das linke Integral auf der rechten Seite nach Fakt gegen ${\displaystyle {}0}$, da ja die Länge des Weges beliebig klein wird. Das rechte Integral auf der linken Seite ist unabhängig von ${\displaystyle {}s}$ wegen Beispiel

${\displaystyle {}2\pi {\mathrm {i} }f(a)}$