Integration/-x^2+5x/Gerade durch Nullpunkt/Halbiert/Aufgabe/Lösung

Es ist

${\displaystyle {}-x^{2}+5x=-x(x-5)\,,}$

die Fläche befindet sich also oberhalb des Intervalls ${\displaystyle {}[0,5]}$. Eine Stammfunktion von ${\displaystyle {}f}$ ist

${\displaystyle {}F(x)=-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}\,}$

und somit ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{0}^{5}f(x)dx&=[-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}]_{0}^{5}\\&=-{\frac {1}{3}}125+{\frac {5}{2}}25\\&={\frac {125}{6}}.\end{aligned}}}$

Die Gerade durch den Nullpunkt setzen wir als ${\displaystyle {}y=ax}$ an. Der Durchstoßungspunkt (abgesehen vom Nullpunkt) mit dem Graphen ergibt sich aus

${\displaystyle {}ax=-x^{2}+5x\,}$

zu

${\displaystyle {}x=5-a\,.}$

Die obere Fläche besitzt den Flächeninhalt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{0}^{5-a}-x^{2}+5x-axdx&=[-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {5-a}{2}}x^{2}]_{0}^{5-a}\\&=(5-a)^{3}{\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}\right)}\\&=(5-a)^{3}{\frac {1}{6}}.\end{aligned}}}$

Die Bedingung

${\displaystyle {}(5-a)^{3}{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {125}{6}}\,}$

führt auf

${\displaystyle {}(5-a)^{3}={\frac {125}{2}}\,}$

und damit auf

${\displaystyle {}5-a={\frac {5}{\sqrt[{3}]{2}}}\,.}$

Also ist

${\displaystyle {}a=5{\left(1-{\sqrt[{3}]{\frac {1}{2}}}\right)}\,.}$