Integration/Substitution/Bemerkung

Die Substitution wird folgendermaßen angewendet: Es soll das Integral

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt}$

berechnet werden. Man muss dann eine Idee haben, dass durch die Substitution

${\displaystyle {}t=\varphi (s)\,}$

das Integral einfacher wird (und zwar unter Berücksichtigung der Ableitung ${\displaystyle {}\varphi '(s)}$ und unter der Bedingung, dass die Umkehrfunktion ${\displaystyle {}\varphi ^{-1}}$ berechenbar ist). Mit ${\displaystyle {}c=\varphi ^{-1}(a)}$ und ${\displaystyle {}d=\varphi ^{-1}(b)}$ liegt insgesamt die Situation

${\displaystyle [c,d]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}[a,b]{\stackrel {f}{\longrightarrow }}\mathbb {R} }$

vor. In vielen Fällen kommt man mit gewissen Standardsubstitutionen weiter.

Bei einer Substitution werden drei Operationen durchgeführt.

1. Ersetze ${\displaystyle {}f(t)}$ durch ${\displaystyle {}f(\varphi (s))}$.
2. Ersetze ${\displaystyle {}dt}$ durch ${\displaystyle {}\varphi '(s)ds}$.
3. Ersetze die Integrationsgrenzen ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ durch ${\displaystyle {}\varphi ^{-1}(a)}$ und ${\displaystyle {}\varphi ^{-1}(b)}$.

Für den zweiten Schritt empfiehlt sich die Merkregel

${\displaystyle {}dt=d\varphi (s)=\varphi '(s)ds\,,}$

der man im Rahmen der Theorie der „Differentialformen“ auch eine inhaltliche Bedeutung geben kann.