Integritätsbereich/Polynomring/Einheiten/Aufgabe/2/Lösung

Sei ${\displaystyle a\in R^{\star }}$ Einheit von ${\displaystyle R}$. Dann existiert ein ${\displaystyle b\in R^{\star }}$ mit ${\displaystyle a\cdot b=1_{R}}$. Sei nun ${\displaystyle p_{a}=a\cdot X^{0},p_{b}=b\cdot X^{0}\in R\left[X\right]}$. Dann ist ${\displaystyle p_{a}\cdot p_{b}=a\cdot b\cdot X^{0}=1_{R}\cdot X^{0}=1_{R\left[X\right]}}$. Also ist ${\displaystyle R^{\star }\subset R\left[X\right]^{\star }}$.

Sei ${\displaystyle p,q\in R\left[X\right]^{\star },\deg p=n,\deg q=m}$ und ${\displaystyle p\cdot q=1_{R\left[X\right]}}$. Mit ${\displaystyle p=\sum _{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}$ und ${\displaystyle q=\sum _{k=0}^{m}b_{k}X^{k}}$ ist das Produkt von ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$

${\displaystyle p\cdot q=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}}$

mit

${\displaystyle c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}.}$

So gilt für den Leitkoeffizienten ${\displaystyle c_{n+m}=\sum _{i=0}^{n+m}a_{i}b_{n+m-i}}$. Es ist aber ${\displaystyle b_{n+m-i}=0}$ für alle ${\displaystyle i<n}$ und ${\displaystyle a_{i}=0}$ für alle ${\displaystyle i>n}$. Also ist ${\displaystyle c_{n+m}=a_{n}b_{m}}$. Da ${\displaystyle R}$ Integritätsbereich, also nullteilerfrei ist, ist somit ${\displaystyle c_{n+m}\neq 0}$ und damit ${\displaystyle \deg p\cdot q=n+m}$. Daher ist ${\displaystyle p\cdot q\neq 1_{R\left[X\right]}}$, falls ${\displaystyle n>0}$ oder ${\displaystyle m>0}$ Also sind die Einheiten von ${\displaystyle R\left[X\right]}$ Polynome vom Grad ${\displaystyle 0}$. Also gilt für ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ wie oben, dass ${\displaystyle n=m=0}$ und somit ${\displaystyle 1_{R\left[X\right]}=p\cdot q=a_{0}b_{0}X^{0}}$, also ${\displaystyle a_{0}b_{0}=1_{R}}$. Und damit gilt ${\displaystyle R\left[X\right]^{\star }\subset R^{\star }}$.

${\displaystyle \square }$