Integritätsbereich/Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass man auf folgende Weise einen Körper ${\displaystyle {}K}$ konstruieren kann, der ${\displaystyle {}R}$ enthält.

Wir betrachten auf

${\displaystyle {}M=R\times (R\setminus {\{0\}})\,}$

die durch

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc,}$

definierte Relation.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Definiere auf der Quotientenmenge ${\displaystyle {}Q(R)}$ Verknüpfungen derart, dass ${\displaystyle {}Q(R)}$ zu einem Körper wird und dass

${\displaystyle \varphi \colon R\longrightarrow Q(R),\,r\longmapsto [(r,1)],}$

ein Ringhomomorphismus ist.