Inverse Matrix/3/Explizit/Aufgabe/Lösung
<
Inverse Matrix/3/Explizit/Aufgabe
Es ist
(
a
b
c
d
e
f
g
h
i
)
(
e
i
−
f
h
c
h
−
b
i
b
f
−
c
e
f
g
−
d
i
a
i
−
c
g
c
d
−
a
f
d
h
−
e
g
b
g
−
a
h
a
e
−
b
d
)
=
(
a
(
e
i
−
f
h
)
+
b
(
f
g
−
d
i
)
+
c
(
d
h
−
e
g
)
a
(
c
h
−
b
i
)
+
b
(
a
i
−
c
g
)
+
c
(
b
g
−
a
h
)
a
(
b
f
−
c
e
)
+
b
(
c
d
−
a
f
)
+
c
(
a
e
−
b
d
)
d
(
e
i
−
f
h
)
+
e
(
f
g
−
d
i
)
+
f
(
d
h
−
e
g
)
d
(
c
h
−
b
i
)
+
e
(
a
i
−
c
g
)
+
f
(
b
g
−
a
h
)
d
(
b
f
−
c
e
)
+
e
(
c
d
−
a
f
)
+
f
(
a
e
−
b
d
)
g
(
e
i
−
f
h
)
+
h
(
f
g
−
d
i
)
+
i
(
d
h
−
e
g
)
g
(
c
h
−
b
i
)
+
h
(
a
i
−
c
g
)
+
i
(
b
g
−
a
h
)
g
(
b
f
−
c
e
)
+
h
(
c
d
−
a
f
)
+
i
(
a
e
−
b
d
)
)
=
(
a
e
i
−
a
f
h
+
b
f
g
−
b
d
i
+
c
d
h
−
c
e
g
a
c
h
−
a
b
i
+
b
a
i
−
b
c
g
+
c
b
g
−
c
a
h
a
b
f
−
a
c
e
+
b
c
d
−
b
a
f
+
c
a
e
−
c
b
d
d
e
i
−
d
f
h
+
e
f
g
−
e
d
i
+
f
d
h
−
f
e
g
d
c
h
−
d
b
i
+
e
a
i
−
e
c
g
+
f
b
g
−
f
a
h
d
b
f
−
d
c
e
+
e
c
d
−
e
a
f
+
f
a
e
−
f
b
d
g
e
i
−
g
f
h
+
h
f
g
−
h
d
i
+
i
d
h
−
i
e
g
g
c
h
−
g
b
i
+
h
a
i
−
h
c
g
+
i
b
g
−
i
a
h
g
b
f
−
g
c
e
+
h
c
d
−
h
a
f
+
i
a
e
−
i
b
d
)
=
(
a
e
i
−
a
f
h
+
b
f
g
−
b
d
i
+
c
d
h
−
c
e
g
0
0
0
d
c
h
−
d
b
i
+
e
a
i
−
e
c
g
+
f
b
g
−
f
a
h
0
0
0
g
b
f
−
g
c
e
+
h
c
d
−
h
a
f
+
i
a
e
−
i
b
d
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}a(ei-fh)+b(fg-di)+c(dh-eg)&a(ch-bi)+b(ai-cg)+c(bg-ah)&a(bf-ce)+b(cd-af)+c(ae-bd)\\d(ei-fh)+e(fg-di)+f(dh-eg)&d(ch-bi)+e(ai-cg)+f(bg-ah)&d(bf-ce)+e(cd-af)+f(ae-bd)\\g(ei-fh)+h(fg-di)+i(dh-eg)&g(ch-bi)+h(ai-cg)+i(bg-ah)&g(bf-ce)+h(cd-af)+i(ae-bd)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}aei-afh+bfg-bdi+cdh-ceg&ach-abi+bai-bcg+cbg-cah&abf-ace+bcd-baf+cae-cbd\\dei-dfh+efg-edi+fdh-feg&dch-dbi+eai-ecg+fbg-fah&dbf-dce+ecd-eaf+fae-fbd\\gei-gfh+hfg-hdi+idh-ieg&gch-gbi+hai-hcg+ibg-iah&gbf-gce+hcd-haf+iae-ibd\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}aei-afh+bfg-bdi+cdh-ceg&0&0\\0&dch-dbi+eai-ecg+fbg-fah&0\\0&0&gbf-gce+hcd-haf+iae-ibd\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}}
In der Diagonalen steht immer der gleiche Eintrag, nämlich
a
e
i
−
a
f
h
+
b
f
g
−
b
d
i
+
c
d
h
−
c
e
g
=
a
(
e
i
−
f
h
)
−
b
(
d
i
−
f
g
)
+
c
(
d
h
−
e
g
)
=
det
M
.
{\displaystyle {}aei-afh+bfg-bdi+cdh-ceg=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)=\det M\,.}
Mit dem Vorfaktor
1
det
M
{\displaystyle {}{\frac {1}{\det M}}}
ergibt sich also bei Multiplikation die Einheitsmatrix.
Zur gelösten Aufgabe
