Isometrie/Eigentliche Isometrie/Matrix/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$. Definiere einen injektiven Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \operatorname {O} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {SO} _{n+1}\,(\mathbb {R} )}$

von der Gruppe der Isometrien auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$ in die Gruppe der eigentlichen Isometrien auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n+1}}$.