Isometrie/Verschiedene Charakterisierungen mit Orthonormalbasis/Fakt/Beweis

Aus (1) folgt (2). Wenn eine Isometrie vorliegt, und ${\displaystyle {}u_{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$, eine Orthonormalbasis von ${\displaystyle {}V}$ ist, so ist

${\displaystyle {}\left\langle \varphi (u_{i}),\varphi (u_{j})\right\rangle =\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle =\delta _{ij}\,}$

und somit ist ${\displaystyle {}\varphi (u_{i})}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$, eine Orthonormalbasis von ${\displaystyle {}\varphi (V)}$. Diese kann man zu einer Orthonormalbasis von ${\displaystyle {}W}$ ergänzen.

Von (2) nach (3) ist klar, da es Orthonormalbasen von ${\displaystyle {}V}$ gibt.

Von (3) nach (1). Es sei ${\displaystyle {}u_{i}}$, ${\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}$, eine Orthonormalbasis von ${\displaystyle {}V}$ mit der Eigenschaft, dass

${\displaystyle \varphi (u_{i}),\,i=1,\ldots ,n,}$

Teil einer Orthonormalbasis von ${\displaystyle {}W}$ ist. Für zwei beliebige Vektoren ${\displaystyle {}u=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}}$ und ${\displaystyle {}v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{i}}$ von ${\displaystyle {}V}$ ist dann

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle \varphi (u),\varphi (v)\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi (u_{i}),\sum _{j=1}^{n}b_{j}\varphi (u_{j})\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{i}b_{j}\left\langle \varphi (u_{i}),\varphi (u_{j})\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{i}b_{i}\\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{i}b_{i}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i},\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle u,v\right\rangle ,\end{aligned}}}$

es liegt also eine Isometrie vor.