K^2/Graduierung/Operation/Bahnen/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\displaystyle {}P=(x,y)\in B}$ ein von Nullpunkt verschiedener Punkt einer Bahn ${\displaystyle {}B}$. Sei ${\displaystyle {}x\neq 0}$. Wir setzen ${\displaystyle {}d=1}$ und

${\displaystyle {}c:={\frac {y^{a}}{x^{b}}}\,.}$

Somit ist unmittelbar ${\displaystyle {}P\in V{\left(cX^{b}-Y^{a}\right)}}$. Für ${\displaystyle {}t\in K^{\times }}$ ist

${\displaystyle {}tP=\left(t^{a}x,\,t^{b}y\right)\,}$

und

${\displaystyle {}c{\left(t^{a}x\right)}^{b}-{\left(t^{b}y\right)}^{a}=t^{ab}{\left(cx^{b}-y^{a}\right)}=0\,,}$

also

${\displaystyle {}tP\in V{\left(cX^{b}-Y^{a}\right)}\,.}$

Wenn umgekehrt ${\displaystyle {}Q=(r,s)\in V{\left(cX^{b}-Y^{a}\right)}}$ ein vom Nullpunkt verschiedener Punkt der Nullstellenmenge ist, so ist zunächst ${\displaystyle {}r\neq 0}$. Bei

${\displaystyle {}c=0\,}$

ist die Aussage klar, da die Bahn dann die ${\displaystyle {}x}$-Achse ohne den Nullpunkt ist. Andernfalls ist auch ${\displaystyle {}y,s\neq 0}$ und man hat die Beziehung

${\displaystyle {}c{\frac {x^{b}}{y^{a}}}=1=c{\frac {r^{b}}{s^{a}}}\,}$

bzw.

${\displaystyle {}{\frac {r^{b}}{x^{b}}}={\frac {s^{a}}{y^{a}}}\,.}$

Wegen der Teilerfremdheit gibt es ${\displaystyle {}m,n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle {}am+bn=1}$. Mit

${\displaystyle {}t:={\left({\frac {r}{x}}\right)}^{m}{\left({\frac {s}{y}}\right)}^{n}\,}$

ist

${\displaystyle {}t^{a}x={\left({\frac {r}{x}}\right)}^{am}{\left({\frac {s}{y}}\right)}^{an}x={\left({\frac {r}{x}}\right)}^{am}{\left({\frac {r}{x}}\right)}^{bn}x={\left({\frac {r}{x}}\right)}^{am+bn}x={\left({\frac {r}{x}}\right)}x=r\,}$

und entsprechend

${\displaystyle {}t^{b}y={\left({\frac {r}{x}}\right)}^{bm}{\left({\frac {s}{y}}\right)}^{bn}y={\left({\frac {s}{y}}\right)}^{am}{\left({\frac {s}{y}}\right)}^{bn}y={\left({\frac {s}{y}}\right)}^{am+bn}y={\left({\frac {s}{y}}\right)}y=s\,.}$