Körper/Absolutbetrag/Definition

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Eine Funktion

${\displaystyle \vert {-}\vert \colon K\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \vert {f}\vert }$

heißt Betrag (oder Absolutbetrag) auf ${\displaystyle {}K}$, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${\displaystyle {}\vert {f}\vert \geq 0}$ für alle ${\displaystyle {}f}$.
2. Es ist ${\displaystyle {}\vert {f}\vert =0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}f=0}$ ist.
3. Es ist

   ${\displaystyle {}\vert {fg}\vert =\vert {f}\vert \cdot \vert {g}\vert \,.}$

4. Es ist

   ${\displaystyle {}\vert {f+g}\vert \leq \vert {f}\vert +\vert {g}\vert \,.}$