Körper/Charakteristik p/Vollkommen/Frobenius surjektiv/Aufgabe/Lösung

Es sei der Frobenius surjektiv, d.h. für jedes ${\displaystyle {}a\in K}$ gibt es ein ${\displaystyle {}b\in K}$ mit ${\displaystyle {}a=b^{p}}$. Es sei ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ ein irreduzibles Polynom. Es ist zu zeigen, dass ${\displaystyle {}F}$ und ${\displaystyle {}F'}$ teilerfremd sind, und die einzige Möglichkeit, dass dies nicht der Fall ist, ist, dass

${\displaystyle {}F'=0\,}$

ist. In diesem Fall dürfen aber in ${\displaystyle {}F}$ nur Potenzen von ${\displaystyle {}X}$ vorkommen, deren Exponent ein Vielfaches von ${\displaystyle {}p}$ ist, also

${\displaystyle {}F=a_{np}X^{np}+a_{(n-1)p}X^{(n-1)p}+\cdots +a_{2p}X^{2p}+a_{p}X^{p}+a_{0}\,.}$

Es seien ${\displaystyle {}b_{i}}$ ${\displaystyle {}p}$-te Wurzeln aus ${\displaystyle {}a_{ip}}$. Dann ist mit

${\displaystyle {}G=b_{n}X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}\,}$

aber

${\displaystyle {}F=G^{p}\,}$

im Widerspruch zur Irreduzibilität von ${\displaystyle {}F}$.

Es sei nun der Frobenius nicht surjektiv, und es sei ${\displaystyle {}a\in K}$ ein Element, das in ${\displaystyle {}K}$ keine ${\displaystyle {}p}$-te Wurzel besitzt. Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ ein Erweiterungskörper, in dem ${\displaystyle {}a}$ eine ${\displaystyle {}p}$-te Wurzel ${\displaystyle {}c\in L}$ besitzt. Den Körper ${\displaystyle {}L}$ erhält man als ${\displaystyle {}L=K[X]/(F)}$, wobei ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ ein irreduzibler Teiler von ${\displaystyle {}X^{p}-a}$ ist. In ${\displaystyle {}L[X]}$ gilt

${\displaystyle {}X^{p}-a=(X-c)^{p}\,}$

${\displaystyle {}L[X]}$

${\displaystyle {}F}$