Körper/Polynomring/Maximale Ideale/Erzeugendenzahl/Fakt/Beweis

Wir führen Induktion über ${\displaystyle {}n}$, dabei ist der Induktionsanfang ${\displaystyle {}n=0}$ und auch ${\displaystyle {}n=1}$ klar, da ${\displaystyle {}K[X]}$ ein Hauptidealbereich ist. Es sei die Aussage also für ${\displaystyle {}n}$ bewiesen und sei ein maximales Ideal

${\displaystyle {}{\mathfrak {n}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n},X_{n+1}]\,}$

gegeben. Es ist

${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}\cap K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,}$

ein maximales Ideal in ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$. Nach Induktionsvoraussetzung wird ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ von ${\displaystyle {}n}$ Elementen erzeugt, sagen wir

${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,.}$

Wir betrachten den injektiven Ringhomomorphismus

${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n},X_{n+1}]/{\mathfrak {n}},}$

der die Faktorisierung

${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}\longrightarrow {\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}\right)}[X_{n+1}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n},X_{n+1}]/{\mathfrak {n}},}$

wobei die Abbildung rechts surjektiv ist. Da in der Mitte ein Hauptidealbereich steht, wird der Kern dieser Abbildung durch ein Element ${\displaystyle {}f_{n+1}}$ erzeugt. Somit ist

${\displaystyle {}{\mathfrak {n}}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n},f_{n+1}\right)}\,.}$