Körper/Potenzgesetze/Positiv bekannt/Aufgabe/Lösung

Für einen negativen Exponenten ${\displaystyle {}m=-k}$ ist nach Definition

${\displaystyle {}a^{m}={\left(a^{-1}\right)}^{k}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}a^{-1}}$ das inverse Element zu ${\displaystyle {}a}$ bezeichnet.

1. Wenn beide Exponenten nichtnegativ sind, ist das Ergebnis bekannt. Wenn beide Exponenten negativ sind, so setzen wir ${\displaystyle {}m=-k}$ und ${\displaystyle {}n=-\ell }$ und es ist

   ${\displaystyle {}a^{m}\cdot a^{n}={\left(a^{-1}\right)}^{k}{\left(a^{-1}\right)}^{\ell }={\left(a^{-1}\right)}^{k+\ell }=a^{-(k+\ell )}=a^{m+n}\,,}$

   wobei wir für die zweite Gleichung das Potenzgesetz für nichtnegative Exponenten verwendet haben. Für den gemischten Fall können wir wegen der Symmetrie der Situation ${\displaystyle {}m\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle {}n=-\ell }$ als negativ annehmen. Dann ist

   ${\displaystyle {}a^{m}\cdot a^{n}=a^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{\ell }\,.}$

   Bei ${\displaystyle {}m\geq \ell }$ schreiben wir

   ${\displaystyle {}m=\ell +r\,}$

   und das Produkt ist gleich

   ${\displaystyle {}a^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{\ell }=a^{\ell +r}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{\ell }=a^{r}a^{\ell }\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{\ell }=a^{r}{\left(a\cdot a^{-1}\right)}^{\ell }=a^{r}\cdot 1=a^{r}=a^{m-\ell }=a^{m+n}\,,}$

   wobei wir für die dritte Gleichheit das dritte Potenzgesetz für nichtnegative Exponenten verwendet haben.

   Bei ${\displaystyle {}m<\ell }$ schreiben wir

   ${\displaystyle {}\ell =m+s\,}$

   und das Produkt ist gleich

   ${\displaystyle {}a^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{\ell }=a^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{m+s}=a^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{s}={\left(a\cdot a^{-1}\right)}^{m}\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{s}=1\cdot {\left(a^{-1}\right)}^{s}=a^{-s}=a^{m-\ell }=a^{m+n}\,.}$

2. Wenn beide Exponenten nichtnegativ sind, so ist die Aussage bekannt. Es seien beide Exponenten negativ, wobei wir die gleichen Buchstaben wie unter (1) verwenden. Dann ist

   ${\displaystyle {}{\left(a^{m}\right)}^{n}={\left({\left(a^{m}\right)}^{-1}\right)}^{\ell }={\left({\left({\left(a^{-1}\right)}^{k}\right)}^{-1}\right)}^{\ell }={\left({\left({\left(a^{-1}\right)}^{-1}\right)}^{k}\right)}^{\ell }={\left(a^{k}\right)}^{\ell }=a^{k\ell }=a^{(-m)(-n)}=a^{mn}\,,}$

   wobei wir verwendet haben, dass das Inverse von ${\displaystyle {}u^{k}}$ gleich ${\displaystyle {}{\left(u^{-1}\right)}^{k}}$ ist und dass das Inverse des Inversen das Ausgangselement ist.

   Wenn ${\displaystyle {}m}$ nichtnegativ und ${\displaystyle {}n=-\ell }$ negativ ist, so ist

   ${\displaystyle {}{\left(a^{m}\right)}^{n}={\left({\left(a^{m}\right)}^{-1}\right)}^{\ell }={\left({\left(a^{-1}\right)}^{m}\right)}^{\ell }={\left(a^{-1}\right)}^{m\ell }=a^{-m\ell }=a^{mn}\,.}$

   Wenn ${\displaystyle {}m=-k}$ negativ und ${\displaystyle {}n}$ nichtnegativ ist, so ist

   ${\displaystyle {}{\left(a^{m}\right)}^{n}={\left({\left(a^{-1}\right)}^{k}\right)}^{n}={\left(a^{-1}\right)}^{kn}=a^{-kn}=a^{mn}\,.}$

3. Wir müssen nur den Fall ${\displaystyle {}n=-\ell }$ negativ behandeln. Dann ist

   ${\displaystyle {}(ab)^{n}=(ab)^{-\ell }={\left((ab)^{-1}\right)}^{\ell }={\left(a^{-1}b^{-1}\right)}^{\ell }={\left(a^{-1}\right)}^{\ell }\cdot {\left(b^{-1}\right)}^{\ell }=a^{-\ell }b^{-\ell }=a^{n}b^{n}\,.}$