Körpererweiterung/Festlegung auf Erzeugendensystem/Fakt/Beweis

Wir zeigen, dass die Teilmenge

${\displaystyle {}M={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x\right\}}\,}$

gleich ${\displaystyle {}L}$ ist. Da ${\displaystyle {}\varphi }$ ein ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismus ist, ist ${\displaystyle {}K\subseteq M}$ und nach Voraussetzung ist ${\displaystyle {}x_{i}\in M}$. Mit ${\displaystyle {}x,y\in M}$ ist wegen ${\displaystyle {}\varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)=x+y}$ (und entsprechend für die Multiplikation) auch ${\displaystyle {}x+y,xy\in M}$. Ferner ist mit ${\displaystyle {}x\in M}$, ${\displaystyle {}x\neq 0}$, wegen

${\displaystyle {}\varphi {\left(x^{-1}\right)}={\left(\varphi (x)\right)}^{-1}=x^{-1}\,}$

auch ${\displaystyle {}x^{-1}\in M}$. Also ist ${\displaystyle {}M}$ ein Unterkörper, der ${\displaystyle {}K}$ und das Körpererzeugendensystem ${\displaystyle {}x_{i}}$ umfasst und daher ist ${\displaystyle {}M=L}$.