Körpererweiterung/Inverses/Lineares Gleichungssystem/Bemerkung

Eine Variante, das inverse Element zu einem Element ${\displaystyle {}z\neq 0}$ aus ${\displaystyle {}K[X]/(P)}$ zu bestimmen, funktioniert folgendermaßen: Der Grad des irreduziblen Polynoms ${\displaystyle {}P}$ sei ${\displaystyle {}n}$, daher hat jedes Element im Restklassenring eine eindeutige Darstellung der Form ${\displaystyle {}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}}$. Dies gilt insbesondere für das vorgegebene Element ${\displaystyle {}z}$, für das man die Koeffizienten kennt, aber auch für das gesuchte Elemente

${\displaystyle {}z^{-1}=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n-1}x^{n-1}\,,}$

wofür man die Koeffizienten noch nicht kennt. In dem Ansatz

${\displaystyle {}{\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}\right)}{\left(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n-1}x^{n-1}\right)}=1=1+0x+0x^{2}+\cdots +0x^{n-1}\,}$

muss man die linke Seite ausmultiplizieren und unter Verwendung von ${\displaystyle {}P}$ als Ausdruck

${\displaystyle c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}}$

schreiben, wobei in den ${\displaystyle {}c_{i}}$ die bekannten Koeffizienten ${\displaystyle {}a_{i}}$, die bekannten Koeffizienten aus ${\displaystyle {}P}$ und die unbekannten Koeffizienten ${\displaystyle {}b_{i}}$ eingehen. Koeffizientenvergleich führt zu einem linearen Gleichungssystem aus ${\displaystyle {}n}$ Gleichungen in den ${\displaystyle {}n}$ Variablen ${\displaystyle {}b_{i}}$, das gelöst werden kann.