Körpererweiterung/Körperautomorphismus/Algebra/Ringautomorphismus/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper, ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine Körpererweiterung und ${\displaystyle {}\varphi \colon L\rightarrow L}$ ein ${\displaystyle {}K}$-Körperautomorphismus. Es sei

${\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,}$

eine endlich erzeugte kommutative ${\displaystyle {}K}$-Algebra und

${\displaystyle {}R_{L}=R\otimes _{K}L\cong L[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}L[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,}$

die entsprechende ${\displaystyle {}L}$-Algebra.

1. Zeige, dass durch ${\displaystyle {}\operatorname {Id} _{R}\otimes \varphi }$ ein Ringautomorphismus auf ${\displaystyle {}R_{L}}$ gegeben ist.
2. Zeige, dass die Abbildung aus (1) ein ${\displaystyle {}K}$-Algebraautomorphismus ist, aber im Allgemeinen kein ${\displaystyle {}L}$-Algebraautomorphismus.
3. Es sei nun ${\displaystyle {}L=K[T]/(G)}$ und ${\displaystyle {}\varphi (T)=P\in K[T]}$. Zeige

   ${\displaystyle {}R_{L}\cong K[T,X_{1},\ldots ,X_{n}]/(G,{\mathfrak {a}})\,}$

   und dass die Abbildung aus (1) der Einsetzungshomomorphismus zu ${\displaystyle {}T\mapsto P,X_{i}\mapsto X_{i}}$ ist.