Körpererweiterung/X^3-3X+1/Nullstelle/Zerfällt/Aufgabe

Das Polynom ${\displaystyle {}F=X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]}$ ist irreduzibel und definiert daher eine Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,}$

vom Grad ${\displaystyle {}3}$. Die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$ in ${\displaystyle {}L}$ sei mit ${\displaystyle {}\alpha }$ bezeichnet. Zeige, dass auch die Elemente aus ${\displaystyle {}L}$

${\displaystyle {}\beta =\alpha ^{2}-2\,}$

und

${\displaystyle {}\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2\,}$

Nullstellen von ${\displaystyle {}F}$ sind.