K-Algebra/Gruppenoperation/Charakter/Summen/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}R}$ eine kommutative ${\displaystyle {}K}$-Algebra, auf dem eine endliche Gruppe ${\displaystyle {}G}$ als Gruppe von ${\displaystyle {}K}$-Algebraautomorphismen operiere. Es sei

${\displaystyle \chi \colon G\longrightarrow K^{\times }}$

ein Charakter. Zeige, dass zu jedem ${\displaystyle {}f\in R}$ die Summe

${\displaystyle \sum _{\sigma \in G}{\frac {f\sigma }{\chi (\sigma )}}}$

zu ${\displaystyle {}R_{\chi }^{G}}$ gehört.