Kein Ringhomomorphismus/Q nach Z/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} }$

ein Ringhomomorphismus ist. Dann ist ${\displaystyle {}\varphi (1)=1}$. In ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ gilt ${\displaystyle {}1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}}$, daher gilt in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$

${\displaystyle {}1=\varphi \left({\frac {1}{2}}\right)+\varphi \left({\frac {1}{2}}\right)\,.}$

Das würde aber bedeuten, dass die Gleichung ${\displaystyle {}2x=1}$

${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$