Knopfloch/Gerücht/Ausbreitung/Logistisch/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}y(t)}$

${\displaystyle {}t}$

${\displaystyle {}y(t)}$

${\displaystyle {}y'(t)}$

${\displaystyle {}y}$

${\displaystyle {}y'=\alpha y\,}$

mit einer Lösungsfunktion ${\displaystyle {}ce^{\alpha t}}$. Da in einem Tag sich der Wert der Funktion verdoppelt, ist

${\displaystyle {}\alpha =\ln 2\,}$

und wegen

${\displaystyle {}y(1)=1\,}$

ist die Lösungsfunktion

${\displaystyle {}y(t)={\frac {1}{2}}e^{\ln \left(2\right)\cdot t}={\frac {1}{2}}\cdot 2^{t}\,.}$

${\displaystyle {}z(t)}$

${\displaystyle {}t}$

${\displaystyle {}{\frac {z(t)}{10000}}}$

${\displaystyle {}{\frac {10000-z(t)}{10000}}=1-{\frac {z(t)}{10000}}\,}$

der Anteil der Personen, die das Gerücht nicht kennt. Für den Zuwachs der Personenanzahl, die das Gerücht glauben, ist das Produkt aus der Personenanzahl, die das Gerücht kennen, und diesem Anteil entscheidend. Es liegt daher die Differentialgleichung

${\displaystyle {}z'=\alpha z{\left(1-{\frac {z}{10000}}\right)}\,}$

vor. Um am Anfang auf den Faktor ${\displaystyle {}2}$ zu kommen, muss wieder

${\displaystyle {}\alpha =\ln 2\,}$

genommen werden.

${\displaystyle {}z(t)={\frac {10000}{1+2^{c-t}}}\,}$

die Differentialgleichung

${\displaystyle {}z'=\ln \left(2\right)z{\left(1-{\frac {z}{10000}}\right)}\,}$

löst. Die linke Seite ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}z'(t)&=\left({\frac {10000}{1+2^{c-t}}}\right)'\\&={\frac {10000\cdot \ln \left(2\right)\cdot 2^{c-t}}{(1+2^{c-t})^{2}}}\end{aligned}}}$

und die rechte Seite ist ebenso

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\ln \left(2\right)\cdot {\frac {10000}{1+2^{c-t}}}{\left(1-{\frac {1}{1+2^{c-t}}}\right)}&=\ln \left(2\right)\cdot {\frac {10000}{1+2^{c-t}}}{\left({\frac {2^{c-t}}{1+2^{c-t}}}\right)}\\&=\ln \left(2\right)\cdot {\frac {10000\cdot 2^{c-t}}{(1+2^{c-t})^{2}}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}t=1}$

${\displaystyle {}1}$

${\displaystyle {}{\frac {10000}{1+2^{c-1}}}=1\,}$

nach ${\displaystyle {}c}$ auflösen. Das bedeutet

${\displaystyle {}10000=1+2^{c-1}\,,}$

${\displaystyle {}9999=2^{c-1}\,,}$

${\displaystyle {}c-1=\log _{2}9999\,}$

und schließlich

${\displaystyle {}c=1+\log _{2}9999\,.}$