Kommutative Gruppe/Erste Kohomologie/Überlagerung/Aufgabe/Lösung

Skizze. Da wir eine kommutative Gruppe haben schreiben wir die Verknüpfung und auch die Operation additiv. Wir ordnen zuerst einer ${\displaystyle {}G}$-Überlagerung ${\displaystyle {}p\colon Y\rightarrow X}$ einen Kozykel zu. Nach Definition gibt es eine offene Überdeckung ${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}}$ und ${\displaystyle {}G}$-Isomomorphismen

${\displaystyle \varphi _{i}\colon G\times U_{i}\longrightarrow p^{-1}(U_{i}),}$

die wir fixieren. Diese Isomorphismen schränken zu einem Isomorphismus auf jede offene Teilmenge ein. Zu Indizes ${\displaystyle {}i,j}$ ist

${\displaystyle \psi _{ij}=\varphi _{i}^{-1}\circ \varphi _{j}\colon G\times U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow G\times U_{i}\cap U_{j}}$

verträglich mit der natürlichen ${\displaystyle {}G}$-Operation. D.h. es ist

${\displaystyle {}\psi _{ij}(g,x)=\psi _{ij}(g+0,x)=g+\psi (0,x)\,}$

und die Abbildung ist durch ${\displaystyle {}\psi (0,x)}$ festgelegt. Wegen der Fasertreue und der Stetigkeit ist

${\displaystyle {}\psi (0,x)=(g(x),x)\,}$

mit einer stetigen Abbildung

${\displaystyle g\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow G.}$

Diese nennen wir ${\displaystyle {}g_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},G\right)}}$. Zu einem weiteren Index ${\displaystyle {}k}$ gilt für die Isomorphismen (über ${\displaystyle {}U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$)

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\psi _{ik}&={\left(\varphi _{i}^{-1}\circ \varphi _{k}\right)}\\&={\left(\varphi _{i}^{-1}\circ \varphi _{j}\right)}\circ {\left(\varphi _{j}^{-1}\circ \varphi _{k}\right)}\\&=\psi _{ij}\circ \psi _{jk}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {}g_{ij}}$