Kommutativer Halbring/N/Eindeutige Abbildung/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Halbring

(mit den Verknüpfungen ${\displaystyle {}+_{R},\cdot _{R}}$ und den speziellen Elementen ${\displaystyle {}0_{R},1_{R}}$). Zeige, dass es genau eine Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow R}$

gibt, die die Eigenschaften ${\displaystyle {}\varphi (0)=0_{R}}$, ${\displaystyle {}\varphi (1)=1_{R}}$ und

${\displaystyle {}\varphi (m+n)=\varphi (m)+_{R}\varphi (n)\,}$

für alle ${\displaystyle {}m,n\in \mathbb {N} }$ erfüllt.