Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Assoziierter graduierter Modul/Definition

Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul. Dann nennt man die direkte Summe

${\displaystyle {}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M=M/{\mathfrak {a}}M\oplus {\mathfrak {a}}M/{\mathfrak {a}}^{2}M\oplus {\mathfrak {a}}^{2}M/{\mathfrak {a}}^{3}M\oplus \ldots \,}$

den assoziierten graduierten Modul zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$.