Kommutativer Ring/Modul/Länge/Kurze exakte Sequenz/Fakt

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und es sei

${\displaystyle 0\longrightarrow L\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow 0}$

eine kurze exakte Sequenz von ${\displaystyle {}R}$-Moduln.

Dann besitzt ${\displaystyle {}M}$ genau dann endliche Länge, wenn dies für ${\displaystyle {}L}$ und ${\displaystyle {}N}$ gilt. In diesem Fall gilt die Additionsformel