Kommutativer Ring/Modul/Noethersch und Aufstiegsbedingung/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}M}$ ein ${\displaystyle {}R}$-Modul. Dann ist ${\displaystyle {}M}$ genau dann noethersch, wenn jede aufsteigende Kette

${\displaystyle {}M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \ldots \,}$

von ${\displaystyle {}R}$-Untermoduln stationär wird.