Kompakte riemannsche Fläche/Divisor/Riemann-Roch/Fakt/Beweis

Die Aussage ist für die Strukturgarbe richtig, da diese zum trivialen Divisor ${\displaystyle {}0}$ gehört und da

${\displaystyle {}h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=1\,}$

nach Fakt ist.

Zu einem Punkt ${\displaystyle {}P\in X}$ betrachtet man die kurze exakte Garbensequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {I}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathbb {C} }_{P}\longrightarrow 0,}$

wobei ${\displaystyle {}{\mathcal {I}}_{P}={\mathcal {O}}_{X}(-P)}$ die invertierbare Idealgarbe zu dem Punkt ${\displaystyle {}P}$ ist und rechts ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }_{P}}$ die eindimensionale Wolkenkratzergarbe mit Träger ${\displaystyle {}P}$ bezeichnet, siehe Fakt. Die Tensorierung dieser Sequenz mit einer invertierbaren Garbe ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ ergibt

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}\longrightarrow {\mathcal {L}}\longrightarrow {\mathbb {C} }_{P}\otimes {\mathcal {L}}={\mathbb {C} }_{P}\longrightarrow 0.}$

Diese exakten Sequenzen stiften eine Beziehung zwischen den beiden invertierbaren Garben ${\displaystyle {}{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}}$ und ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$, die sich um den Punkt ${\displaystyle {}P}$ „unterscheiden“. Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz ist

${\displaystyle 0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {L}})\longrightarrow 0,}$

da ${\displaystyle {}h^{0}(X,{\mathbb {C} }_{P})=1}$ und ${\displaystyle {}h^{1}(X,{\mathbb {C} }_{P})=0}$ gilt, da ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }_{P}}$ eine welke Garbe ist. Für die Dimensionen ergibt sich die Beziehung

${\displaystyle h^{0}(X,{\mathcal {L}})-h^{1}(X,{\mathcal {L}})=h^{0}(X,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})-h^{1}(X,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})+1\,,}$

wobei insbesondere beiden Kohomologien zu ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$ genau dann endlichdimensional sind, wenn dies für ${\displaystyle {}{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}}$ gilt. Wegen

${\displaystyle {}\operatorname {Grad} \,({\mathcal {I}}_{P})=-1\,}$

ist nach Fakt

${\displaystyle {}\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})+1\,}$

und der Grad verhält sich wie die Differenz der Dimensionen der nullten und der ersten Kohomologie. Die Formel von Riemann-Roch gilt also genau dann für ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}}$, wenn sie für ${\displaystyle {}{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}}$ gilt. Da jede invertierbare Garbe auf der riemannschen Fläche die Form ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{X}(-D)}$ zu einem Divisor ${\displaystyle {}D}$ besitzt, kann man jede invertierbare Garbe ausgehend von der Strukturgarbe durch eine endliche Hinzu- oder Wegnahme von Punkten erhalten. Daher gilt die Formel für alle invertierbaren Garben.