Komplexe Einheitswurzel/Einheitskreis/Aufgabe/Lösung

Für eine komplexe Einheitswurzel ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$ gilt

${\displaystyle {}z^{n}=1\,}$

für ein gewisses ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$. Da der komplexe Betrag multiplikativ ist, gilt

${\displaystyle {}\vert {z^{n}}\vert =\vert {z}\vert ^{n}=1\,.}$

Daher ist ${\displaystyle {}\vert {z}\vert }$ eine positive reelle Zahl, deren ${\displaystyle {}n}$-te Potenz ${\displaystyle {}1}$ ist. Daher ist

${\displaystyle {}\vert {z}\vert =1\,}$