Komplexe Matrix/Nicht invertierbar/3/Aufgabe/Lösung

Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ${\displaystyle {}\neq 0}$ ist. Wir müssen also die Nullstellen der Determinante bestimmen. Die Determinante ist (nach der Regel von Sarrus)

${\displaystyle {}-2z^{2}-2z+2-12z-z+z^{2}=-z^{2}-15z+2\,.}$

Dies ist gleich ${\displaystyle {}0}$ genau dann, wenn

${\displaystyle {}z^{2}+15z-2=0\,}$

ist. Durch quadratisches Ergänzen führt diese Gleichung auf

${\displaystyle {}{\left(z+{\frac {15}{2}}\right)}^{2}=2+{\frac {225}{4}}={\frac {233}{4}}\,.}$

Daher sind

${\displaystyle z_{1}={\frac {\sqrt {233}}{2}}+{\frac {15}{2}}={\frac {15+{\sqrt {233}}}{2}}\,\,{\text{ und }}\,\,z_{2}=-{\frac {\sqrt {233}}{2}}+{\frac {15}{2}}={\frac {15-{\sqrt {233}}}{2}}}$

die beiden einzigen Lösungen der quadratischen Gleichung. Diese beiden reellen Zahlen sind also die einzigen (reellen oder komplexen)