Komplexe Multiplikation/Reelle Determinante/Aufgabe/Lösung

Es sei

${\displaystyle {}z=a+b{\mathrm {i} }\,.}$

Die Multiplikation mit ${\displaystyle {}z}$ ist die Abbildung

${\displaystyle {\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2},\,x+y{\mathrm {i} }\longmapsto {\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}{\left(x+y{\mathrm {i} }\right)},}$

wobei

${\displaystyle {}{\left(a+b{\mathrm {i} }\right)}{\left(x+y{\mathrm {i} }\right)}=ax-by+{\left(ay+bx\right)}{\mathrm {i} }\,}$

gilt. Reell gesehen geht es also um die reell-lineare Abbildung

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax-by\\bx+ay\end{pmatrix}}.}$

Die Determinante dieser linearen Abbildung ist

${\displaystyle {}\det {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}=a^{2}+b^{2}\,.}$