Komplexe Potenzreihe/Nullreihe/Offen und abgeschlossen/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\displaystyle {}f}$ die durch die Potenzreihe gegebene Funktion auf ${\displaystyle {}U{\left(0,R\right)}}$. Wir betrachten die Menge

${\displaystyle {}N={\left\{w\in U{\left(0,R\right)}\mid {\text{ die umentwickelte Potenzreihe um }}w{\text{ ist die Nullreihe}}\right\}}\,.}$

Nach Voraussetzung gehört ${\displaystyle {}b}$ zu ${\displaystyle {}N}$, die Menge ${\displaystyle {}N}$ ist also nicht leer. Die Menge ${\displaystyle {}N}$ ist offen: Wenn ${\displaystyle {}w\in N}$ ist, und also die umentwickelte Reihe ${\displaystyle {}\sum a_{n}(z-w)^{n}}$ auf ${\displaystyle {}U{\left(w,r\right)}}$ die Nullreihe ist, so gilt dies auch für alle Punkte ${\displaystyle {}w'\in U{\left(w,r\right)}}$. Die Menge ${\displaystyle {}N}$ ist aber auch abgeschlossen. Es sei ${\displaystyle {}w_{n}}$ eine Folge in ${\displaystyle {}N}$, die gegen ${\displaystyle {}w\in U{\left(0,R\right)}}$ konvergiere. Da die Potenzreihen mit Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}w_{n}}$ die Nullreihen sind, ist insbesondere ${\displaystyle {}f(w_{n})=0}$. Für die Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}w}$ ergibt sich also, dass der Entwicklungspunkt ein Häufungspunkt der Nullstellen ist. Daraus folgt nach Fakt,

${\displaystyle {}N}$

${\displaystyle {}N}$

${\displaystyle {}U{\left(0,R\right)}}$