Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Verknüpfungseigenschaften/Fakt/Beweis

Es sei ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}}$ eine zweite Matrix, die zugehörigen linear-gebrochen Funktionen seien ${\displaystyle {}\varphi }$ und ${\displaystyle {}\psi }$. Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\psi (\varphi (z))&=\psi {\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}\\&={\frac {e{\frac {az+b}{cz+d}}+f}{g{\frac {az+b}{cz+d}}+h}}\\&={\frac {e{\left(az+b\right)}+f{\left(cz+d\right)}}{g{\left(az+b\right)}+h{\left(cz+d\right)}}}\\&={\frac {{\left(ae+cf\right)}z+be+df}{{\left(ag+ch\right)}z+bg+dh}}.\end{aligned}}}$

Dies ist die gebrochen-lineare Funktion, die zur Produktmatrix

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ae+cf&be+df\\ag+ch&bg+dh\end{pmatrix}}\,}$

gehört.

Zu einer Streckungsmatrix ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}}$ gehört die gebrochen-lineare Funktion ${\displaystyle {}z\mapsto {\frac {sz}{s}}=z}$, also die Identität. Es sei ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ eine invertierbare Matrix derart, dass die zugehörige gebrochen-lineare Funktion ${\displaystyle {}\varphi }$ die Identität ist. Dann ist insbesondere

${\displaystyle {}\varphi (0)={\frac {b}{d}}=0\,,}$

woraus ${\displaystyle {}b=0}$ folgt. Aus

${\displaystyle {}\varphi (1)={\frac {a}{c+d}}=1\,}$

und

${\displaystyle {}\varphi (2)={\frac {2a}{2c+d}}=2\,}$

folgt ${\displaystyle {}c=0}$ und dann auch ${\displaystyle {}a=d}$.