Komplexe Zahlen/Potenzierung/Nullstellengebilde/Beispiel

Wir betrachten die holomorphe Funktion ${\displaystyle {}a_{0}(z)=z}$ auf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ und dazu das Polynom ${\displaystyle {}t^{n}-z}$. Das Nullstellengebilde

${\displaystyle {}V=V(t^{n}-z)\subseteq {\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }\,}$

ist überall glatt und steht direkt in einer Bijektion

${\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow V,\,t\longmapsto (t^{n},t),}$

die biholomorph wird, wenn ${\displaystyle {}V}$ im Sinne von Fakt als eine riemannsche Fläche aufgefasst wird. Die Umkehrabbildung ist die zweite Projektion auf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$. Das unverzweigte Nullstellengebilde ist ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}\cong V\setminus \{0,0\}}$.