Kreis/Fundamentalgruppe/Fakt/Beweis

Wir wenden Fakt auf die Überlagerung

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto (\cos 2\pi t,\sin 2\pi t),}$

und den Aufpunkt ${\displaystyle {}P=(1,0)\in S^{1}}$ an. Die Faser über ${\displaystyle {}P}$ ist ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$. Wir nehmen ${\displaystyle {}0}$ als Referenzpunkt ${\displaystyle {}0\in \mathbb {R} }$ und betrachten die Abbildung

${\displaystyle C([0,1],S^{1},P)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,\gamma \longmapsto {\tilde {\gamma }}(1),}$

die einem geschlossenen Weg ${\displaystyle {}\gamma }$ in ${\displaystyle {}S^{1}}$ mit Aufpunkt ${\displaystyle {}P}$ den Endpunkt der Wegliftung ${\displaystyle {}{\tilde {\gamma }}}$ zuordnet, die den Anfangspunkt ${\displaystyle {}0}$ besitzt. Diese Abbildung überführt zusammengesetzte Wege in die Summe, da die Liftungen zu verschiedenen Startpunkten durch Verschiebungen in ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ auseinander hervorgehen. Nach Fakt führt dies zu einem injektiven Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \pi _{1}(S^{1},P)\longrightarrow \mathbb {Z} .}$

Dieser ist auch surjektiv, da man in ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ von ${\displaystyle {}0}$ aus jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {Z} }$ durch einen stetigen (linearen) Weg erreichen kann und dieser die Liftung seines Bildweges ist.